Błędy grube

Literatura przedmiotu podaje dwa pojęcia weryfikacja i walidacja. Ten pierwszy termin odnosząc się właśnie do weryfikacji uzyskanego rozwiązania (podkreślę, że jakieś rozwiązanie musi już być) jest nam bliższy. Jednakże błędy grube, o czym warto pamiętać, to bardzo często jest też strefa walidacji. Walidacji czyli weryfikacji przyjętych założeń. I choć być może bardziej pasowałby tu termin błędy fundamentalne pozostanę przy moim oznaczeniu i zdefiniuję błędy grube jako te , które powodują generalną zmianę uzyskanych wyników. Pozostałe błędy, wedle tej klasyfikacji powodują zaś odstępstwa lokalne lub niewielkie wartościowo (licząc oczywiście względnie).

Choć błędy grube należą do wydawałoby się łatwych do znalezienie niestety tak nie jest. Podstawową przyczyną jest właśnie to, że zwykle trudny do odszukania (a nawet zorientowania się, że go popełniamy) błąd gruby powstaje u samych postaw obliczeń. Właśnie wtedy gdy tworzymy zręby naszych obliczeń: gdy dobieramy model do opisywanych zjawisk, gdy gromadzimy dane dot. modelu, gdy budujemy pierwsze szkice modelowanego zjawiska.

Co innego oczywiste błędy grube, przyłożenie siły 10-krotnie większej, zmiana stałych materiałowych o trzy rzędy wielkości, itp. Przy odrobinie intuicji wyniku zarówno zorientowanie się co do błędu jak i jego odszukanie nie powinno nastręczyć problemów. W pierwszej części artykułu nazwałem je błędami mierzalnymi, ze względu na fakt, że rozpoznajemy je po wartości uzyskanych parametrów fizykalnych: np. przemieszczeniu lub naprężeniu maksymalnym .

Błędy mierzalne

Aby zrozumieć błędy mierzalne najlepiej pokażę na przykładach ich wpływ na uzyskiwany wynik. Na pierwszy ogień weźmy zmiany pewnych parametrów fizycznych (stałych fizycznych i geometrycznych ) modelu. Pozwoli to na wyrobienie sobie pewnego wyczucia co do prawidłowości wyników.

Jako przykÅ‚ad weźmy referencyjny model dla wielu systemów liczÄ…cych. Jest to pÅ‚yta prostokÄ…tna prosto podparta opisana przez Timoshenko, S. P. and Woinowsky-Krieger, “Theory of Plates and Shells,” McGraw-Hill Book Co., 2 wydanie z 1962 r. na stronach 120-143.

Płyta jest wykonana ze stali stopowej o parametrach (w celu porównania z innymi systemami liczącymi zachowałem oryginalne jednostki anglosaskie):

E = 30,000,000 psi =210000 MPa

ν= 0.3

h = 1 in = 25,4 mm

a = b = 40 in = 1012 mm

F = 400 lbf =1779,2888N

Ze wzglÄ™du na symetriÄ™ zamodelowano ¼ pÅ‚yty, obciążenie przyÅ‚ożono w jej Å›rodku (wÄ™zeÅ‚ 25) Problem przedstawiono na poniższym rysunku (rys.1). Uzyskajmy w pierwszym podejÅ›ciu prawidÅ‚owe wyniki.

Rys.1

O jakości rozwiązania numerycznego świadczy odstęp od rozwiązania teoretycznego, które wynosi : 0.0270230 [in] błąd wynosi więc mniej niż 0.4%.

Sprawdźmy teraz wpływ zmian własności materiałowych na wynik:

Zauważmy na poczÄ…tek, że tylko zmiana współczynnika poissona spowodowaÅ‚a istotniejszÄ… zmianÄ™ jakoÅ›ciowÄ… obrazu pola naprężeÅ„ (choć w bardziej skomplikowanym modelu trudno tÄ™ zmianÄ™ uznać za „wykrywalnÄ…”). DokÅ‚adnie odwrotna sytuacja jest w wynikach iloÅ›ciowych. NajwiÄ™ksza zmiana zaszÅ‚a w modelu, który w obrazie jakoÅ›ciowym jest bardzo zbliżony do wyniku referencyjnego w modelu z pomyÅ‚kÄ… w gruboÅ›ci pÅ‚yty. Co ciekawe obraz jakoÅ›ciowy pola przemieszczeÅ„ różni siÄ™ w sposób zauważalny tylko przy zmianie moduÅ‚u Younga i gruboÅ›ci pÅ‚yty. Zmiana współczynnika poissona nie wywiera zaÅ› istotnego wpÅ‚ywu.

CiekawostkÄ…, choć oczywistÄ… ze wzglÄ™du na matematycznÄ… stronÄ™ zagadnienia, jest wpÅ‚yw zmiany moduÅ‚u Younga na pole naprężeÅ„ – a wÅ‚aÅ›ciwie jego brak. Jednak czÄ™sto nie zastanawiamy siÄ™ nad realnymi konsekwencjami zapisów równaÅ„, dlatego warto uzmysÅ‚owić sobie to na konkretnym problemie.

Jak widać na podstawie powyższych przykładów istnieje potrzeba znajomości przybliżonej wartości oczekiwanego wyniku. Bez tej wiedzy będziemy mieli kłopoty nie tyle ze znalezieniem błędu ile w zorientowaniu się, że go popełniamy. Widać też na powyższych przykładach, że jeżeli nie dysponujemy wiarygodnym benchmarkiem naszego zagadnienia, musimy szczególnie dużo uwagi poświęcić weryfikacji danych.

Błędy intuicyjne

PodziaÅ‚ bÅ‚Ä™dów, który tu proponuje wynika z faktu, że preferujÄ™ podejÅ›cie praktyka. Nie zależy mi na klasyfikacji bÅ‚Ä™dów jako takich ale na usystematyzowaniu podejÅ›cia do znajdowania bÅ‚Ä™dów w naszych modelach. SkÄ…d wiÄ™c nazwa bÅ‚Ä™dy intuicyjne? SÄ… to bowiem bÅ‚Ä™dy, które najczęściej wyczuwamy w uzyskanych wynikach na podstawie intuicji wyrobionej doÅ›wiadczeniem i dopiero tak ”wykryte” bÅ‚Ä™dy staramy siÄ™ zdiagnozować. OczywiÅ›cie, że weryfikacjÄ™ należy zawsze przeprowadzać w oparciu o dostÄ™pne metody, ale z doÅ›wiadczenia też wiem, że zazwyczaj wyniki obliczeÅ„ jakkolwiek szybko by nie powstawaÅ‚y sÄ… i tak spóźnione i presja czasu doprowadza do rezygnacji z części zabiegów weryfikacyjnych (cokolwiek naukowcy na ten temat sÄ…dzÄ…).

Wróćmy jednak na początek do naszego przykładu. Załóżmy, że nastąpiła pewna pomyłka w więzach. Uzyskany obraz naprężeń i przemieszczeń przedstawia poniższy rysunek:

Rys.2

Na kolejnym mamy obraz deformacji płyty na tle płyty nieodkształconej, pokazano też punkt przyłożenia obciążenia:

Rys 3.

Zanim zaczniemy analizę przypomnijmy sobie na co zwracać uwagę przy pierwszym kontakcie z wynikami o czym mówiliśmy w pierwszej części artykułu:

a) szukaj ekstremów (zazwyczaj jesteśmy w stanie wskazać miejsca maksymalnego i minimalnego ugięcia lub ogólnie występowania pewnej wielkości wynikowej),

b) szukaj logiki (konstrukcja „podąża” za obciążeniem),

c) szukaj „gÅ‚adkoÅ›ci” (wszelkie duże skoki wartoÅ›ci wynikowych muszÄ… mieć swój powód, bÄ…dź to w obciążeniu bÄ…dź to w charakterystyce modelu),

d) szukaj niemożliwego (np. .konstrukcja przemieszcza się w miejscu gdzie podobną są więzy).

Przeanalizujmy uzyskane wyniki pod kątem tych wskazówek:

Wskazówka a :

Obraz przemieszczeÅ„ nie budzi pod tym wzglÄ™dem zastrzeżeÅ„ – maksima sÄ… w odpowiednim miejscu – punkt przyÅ‚ożenia siÅ‚y, minima także – brzeg z odebranymi stopniami translacyjnymi.

Obraz naprężeń jednak nie jest już tak poprawny. Zauważmy, żebrak powodu aby naprężenia w górnym lewym fragmencie modelu odbiegały od tych z prawego dolnego rogu. A skoro brak powodu to należy to sprawdzić!

Wskazówka b :

Konstrukcja zachowuje się logicznie odkształcenia zachodzą równomiernie w kierunku zadanego obciążenia.

Wskazówka c :

Tu w zasadzie jest tylko jeden punkt zaczepienia. W obrazie naprężeń trudno znaleźć uzasadnienie dla braku gładkości w obrazie izonaprężeń w środku modelu. Jednakże pogłębiona analiza wskazuje na kłopoty algorytmu postprocesora a nie na błąd modelu.

Wskazówka d :

Niemożliwe jest aby w symetrycznym modelu (kształt, podparcie, obciążenie) uzyskane wyniki były pozbawione waloru symetrii.

Jak widać już przy pierwszych przymiarkach dostrzec można błąd modelowania. Jednak aby znaleźć na czym on polega potrzebna jest pogłębiona analiza. Aby lepiej przyjrzeć się problemowi proponuję obejrzeć mapkę naprężeń normalnych w kierunkach osi X i Y:

Rys.4

Choć obraz naprężeÅ„ normalnych w kierunku osi X nie jest caÅ‚kowicie symetryczny to dopiero naprężenia w kierunku prostopadÅ‚ym obrazujÄ… nam caÅ‚kowicie bÅ‚Ä™dny (wzglÄ™dem zaÅ‚ożeÅ„) obraz naprężeÅ„ (zwróćmy jednak uwagÄ™ że duże gradienty powodujÄ…ce „skokowość” obrazu naprężeÅ„ generowane sÄ… przez algorytm postprocesora).

Poszukując źródeł niewątpliwego błędu należy wrócić do przemieszczeń. Dzieje się tak z dwu powodów. Po pierwsze w metodzie przemieszczeniowej tylko pole przemieszczeń jest podawane w punktach węzłowych, po drugie ze względu na nie lokalny charakter błędów (dotyczą całego modelu) tylko błędy globalne mogą być przyczyną nieprawidłowych rezultatów. Uprzedźmy również pytania czytelników - dane geometryczno fizyczne są w modelu poprawne. Również mapy przemieszczeń w kierunku osi X i Y nie wykazują anomalii. Wygenerujmy jednak mapę przemieszczeń rotacyjnych wokół osi X i Y:

Rys 5

No i wreszcie wyszÅ‚o szydÅ‚o z worka! Ze wzglÄ™du na symetriÄ™ ustroju mapa przemieszczeÅ„ wina być symetryczna. Symetria podpowiada nam też od razu gdzie leży bÅ‚Ä…d! Zwróćmy uwagÄ™, że ustrój symetryczny powinien gwarantować zerowanie siÄ™ rotacji na liniach styku z odrzuconÄ… (ze wzglÄ™du na symetriÄ™ wÅ‚aÅ›nie) częściÄ… konstrukcji. Tak dziejÄ™ siÄ™ dla przemieszczeÅ„ RY na linii równolegÅ‚ej do osi Y, ale już nie zachodzi dla drugiej linii symetrii i dla przemieszczeÅ„ RX. Wniosek – bÅ‚Ä…d tkwi w modelu linii symetrii i „podejrzanÄ…” jest linia równolegÅ‚a do osi X.

Nadszedł czas by odsłonić karty. Oto jak zamodelowano w modelu warunki brzegowe:

Rys 6

A jak winny być zamodelowane:

Rys 7

Podsumowanie

W kolejnym artykule przybliżyliÅ›my nieco dwa ważne pojÄ™cia tj bÅ‚Ä™dy mierzalne i bÅ‚Ä™dy intuicyjne. Nie jest to może Å›cisÅ‚y podziaÅ‚, jest to jednak podziaÅ‚ naturalny – tak inżynier na co dzieÅ„ czuje konstrukcjÄ™. Widzimy już teraz, że w trakcie procesu modelowania możemy popeÅ‚nić sporo bÅ‚Ä™dów, a niestety nie wszystkie obrazujÄ… siÄ™ w sposób oczywisty. Potrzeba sporo doÅ›wiadczenia i cierpliwoÅ›ci aby je znaleźć i poprawić. PozostaÅ‚a nam jeszcze do omówienia walidacja i tym tematem, bodajże najtrudniejszym zajmiemy siÄ™ w trzecim artykule z serii.

Na koniec pozwolÄ™ sobie na dygresjÄ™. ProponujÄ™ drodzy czytelnicy wykorzystać ten artykuÅ‚ w sytuacji gdy szef planuje Wam czas na obliczenia. Może choć trochÄ™ zyczliwszym okiem spojrzy na pozycjÄ™ „weryfikacja modelu”.