Błędy grube Literatura przedmiotu podaje dwa pojÄ™cia weryfikacja i walidacja. Ten pierwszy termin odnoszÄ…c siÄ™ wÅ‚aÅ›nie do weryfikacji uzyskanego rozwiÄ…zania (podkreÅ›lÄ™, że jakieÅ› rozwiÄ…zanie musi już być) jest nam bliższy. Jednakże błędy grube, o czym warto pamiÄ™tać, to bardzo czÄ™sto jest też strefa walidacji. Walidacji czyli weryfikacji przyjÄ™tych zaÅ‚ożeÅ„. I choć być może bardziej pasowaÅ‚by tu termin błędy fundamentalne pozostanÄ™ przy moim oznaczeniu i zdefiniujÄ™ błędy grube jako te , które powodujÄ… generalnÄ… zmianÄ™ uzyskanych wyników. PozostaÅ‚e błędy, wedle tej klasyfikacji powodujÄ… zaÅ› odstÄ™pstwa lokalne lub niewielkie wartoÅ›ciowo (liczÄ…c oczywiÅ›cie wzglÄ™dnie). Choć błędy grube należą do wydawaÅ‚oby siÄ™ Å‚atwych do znalezienie niestety tak nie jest. PodstawowÄ… przyczynÄ… jest wÅ‚aÅ›nie to, że zwykle trudny do odszukania (a nawet zorientowania siÄ™, że go popeÅ‚niamy) błąd gruby powstaje u samych postaw obliczeÅ„. WÅ‚aÅ›nie wtedy gdy tworzymy zrÄ™by naszych obliczeÅ„: gdy dobieramy model do opisywanych zjawisk, gdy gromadzimy dane dot. modelu, gdy budujemy pierwsze szkice modelowanego zjawiska. Co innego oczywiste błędy grube, przyÅ‚ożenie siÅ‚y 10-krotnie wiÄ™kszej, zmiana staÅ‚ych materiaÅ‚owych o trzy rzÄ™dy wielkoÅ›ci, itp. Przy odrobinie intuicji wyniku zarówno zorientowanie siÄ™ co do błędu jak i jego odszukanie nie powinno nastrÄ™czyć problemów. W pierwszej części artykuÅ‚u nazwaÅ‚em je błędami mierzalnymi, ze wzglÄ™du na fakt, że rozpoznajemy je po wartoÅ›ci uzyskanych parametrów fizykalnych: np. przemieszczeniu lub naprężeniu maksymalnym . Błędy mierzalne Aby zrozumieć błędy mierzalne najlepiej pokażę na przykÅ‚adach ich wpÅ‚yw na uzyskiwany wynik. Na pierwszy ogieÅ„ weźmy zmiany pewnych parametrów fizycznych (staÅ‚ych fizycznych i geometrycznych ) modelu. Pozwoli to na wyrobienie sobie pewnego wyczucia co do prawidÅ‚owoÅ›ci wyników. Jako przykÅ‚ad weźmy referencyjny model dla wielu systemów liczÄ…cych. Jest to pÅ‚yta prostokÄ…tna prosto podparta opisana przez Timoshenko, S. P. and Woinowsky-Krieger, “Theory of Plates and Shells,” McGraw-Hill Book Co., 2 wydanie z 1962 r. na stronach 120-143. PÅ‚yta jest wykonana ze stali stopowej o parametrach (w celu porównania z innymi systemami liczÄ…cymi zachowaÅ‚em oryginalne jednostki anglosaskie): E = 30,000,000 psi =210000 MPa ν= 0.3 h = 1 in = 25,4 mm a = b = 40 in = 1012 mm F = 400 lbf =1779,2888N Ze wzglÄ™du na symetriÄ™ zamodelowano ¼ pÅ‚yty, obciążenie przyÅ‚ożono w jej Å›rodku (wÄ™zeÅ‚ 25) Problem przedstawiono na poniższym rysunku (rys.1). Uzyskajmy w pierwszym podejÅ›ciu prawidÅ‚owe wyniki.  Rys.1 O jakoÅ›ci rozwiÄ…zania numerycznego Å›wiadczy odstÄ™p od rozwiÄ…zania teoretycznego, które wynosi : 0.0270230 [in] błąd wynosi wiÄ™c mniej niż 0.4%. Sprawdźmy teraz wpÅ‚yw zmian wÅ‚asnoÅ›ci materiaÅ‚owych na wynik: Opis modelu | Max naprężenia [psi] | Max przemieszczenie [in] | Referencyjne MES | 7865.2 | 0,027123 |  |  | h= 1 in=25.mm E= 30,000,000 psi =210000 MPa ν = 0.1 zmniejszamy współczynnik poissona 3 krotnie | 6661.3(zm. 15,3%) | 0,029489(zm. 8,3%) |  |  | h= 1 in=25.mm E=3,000,000 psi =21000 MPa ν =0.3 zmniejszamy moduÅ‚ Younga 10 krotnie | 7851(zm. 0.1%) | 0, 22369(zm. 724%) |  |  | h=0.1 in=2.53.mm E= 30,000,000 psi =210000 MPa ν = 0.3 grubość pÅ‚yty zmniejszona 10 krotnie | 785110(zm.9882%) | 27.123(zm. 99900%) |  |  | Zauważmy na poczÄ…tek, że tylko zmiana współczynnika poissona spowodowaÅ‚a istotniejszÄ… zmianÄ™ jakoÅ›ciowÄ… obrazu pola naprężeÅ„ (choć w bardziej skomplikowanym modelu trudno tÄ™ zmianÄ™ uznać za „wykrywalnÄ…”). DokÅ‚adnie odwrotna sytuacja jest w wynikach iloÅ›ciowych. NajwiÄ™ksza zmiana zaszÅ‚a w modelu, który w obrazie jakoÅ›ciowym jest bardzo zbliżony do wyniku referencyjnego w modelu z pomyÅ‚kÄ… w gruboÅ›ci pÅ‚yty. Co ciekawe obraz jakoÅ›ciowy pola przemieszczeÅ„ różni siÄ™ w sposób zauważalny tylko przy zmianie moduÅ‚u Younga i gruboÅ›ci pÅ‚yty. Zmiana współczynnika poissona nie wywiera zaÅ› istotnego wpÅ‚ywu. CiekawostkÄ…, choć oczywistÄ… ze wzglÄ™du na matematycznÄ… stronÄ™ zagadnienia, jest wpÅ‚yw zmiany moduÅ‚u Younga na pole naprężeÅ„ – a wÅ‚aÅ›ciwie jego brak. Jednak czÄ™sto nie zastanawiamy siÄ™ nad realnymi konsekwencjami zapisów równaÅ„, dlatego warto uzmysÅ‚owić sobie to na konkretnym problemie. Jak widać na podstawie powyższych przykÅ‚adów istnieje potrzeba znajomoÅ›ci przybliżonej wartoÅ›ci oczekiwanego wyniku. Bez tej wiedzy bÄ™dziemy mieli kÅ‚opoty nie tyle ze znalezieniem błędu ile w zorientowaniu siÄ™, że go popeÅ‚niamy. Widać też na powyższych przykÅ‚adach, że jeżeli nie dysponujemy wiarygodnym benchmarkiem naszego zagadnienia, musimy szczególnie dużo uwagi poÅ›wiÄ™cić weryfikacji danych. Błędy intuicyjne PodziaÅ‚ błędów, który tu proponuje wynika z faktu, że preferujÄ™ podejÅ›cie praktyka. Nie zależy mi na klasyfikacji błędów jako takich ale na usystematyzowaniu podejÅ›cia do znajdowania błędów w naszych modelach. SkÄ…d wiÄ™c nazwa błędy intuicyjne? SÄ… to bowiem błędy, które najczęściej wyczuwamy w uzyskanych wynikach na podstawie intuicji wyrobionej doÅ›wiadczeniem i dopiero tak ”wykryte” błędy staramy siÄ™ zdiagnozować. OczywiÅ›cie, że weryfikacjÄ™ należy zawsze przeprowadzać w oparciu o dostÄ™pne metody, ale z doÅ›wiadczenia też wiem, że zazwyczaj wyniki obliczeÅ„ jakkolwiek szybko by nie powstawaÅ‚y sÄ… i tak spóźnione i presja czasu doprowadza do rezygnacji z części zabiegów weryfikacyjnych (cokolwiek naukowcy na ten temat sÄ…dzÄ…). Wróćmy jednak na poczÄ…tek do naszego przykÅ‚adu. Załóżmy, że nastÄ…piÅ‚a pewna pomyÅ‚ka w wiÄ™zach. Uzyskany obraz naprężeÅ„ i przemieszczeÅ„ przedstawia poniższy rysunek:   Rys.2 Na kolejnym mamy obraz deformacji pÅ‚yty na tle pÅ‚yty nieodksztaÅ‚conej, pokazano też punkt przyÅ‚ożenia obciążenia: Rys 3. Zanim zaczniemy analizÄ™ przypomnijmy sobie na co zwracać uwagÄ™ przy pierwszym kontakcie z wynikami o czym mówiliÅ›my w pierwszej części artykuÅ‚u: a) szukaj ekstremów (zazwyczaj jesteÅ›my w stanie wskazać miejsca maksymalnego i minimalnego ugiÄ™cia lub ogólnie wystÄ™powania pewnej wielkoÅ›ci wynikowej), b) szukaj logiki (konstrukcja „podąża” za obciążeniem), c) szukaj „gÅ‚adkoÅ›ci” (wszelkie duże skoki wartoÅ›ci wynikowych muszÄ… mieć swój powód, bÄ…dź to w obciążeniu bÄ…dź to w charakterystyce modelu), d) szukaj niemożliwego (np. .konstrukcja przemieszcza siÄ™ w miejscu gdzie podobnÄ… sÄ… wiÄ™zy). Przeanalizujmy uzyskane wyniki pod kÄ…tem tych wskazówek: Wskazówka a : Obraz przemieszczeÅ„ nie budzi pod tym wzglÄ™dem zastrzeżeÅ„ – maksima sÄ… w odpowiednim miejscu – punkt przyÅ‚ożenia siÅ‚y, minima także – brzeg z odebranymi stopniami translacyjnymi. Obraz naprężeÅ„ jednak nie jest już tak poprawny. Zauważmy, żebrak powodu aby naprężenia w górnym lewym fragmencie modelu odbiegaÅ‚y od tych z prawego dolnego rogu. A skoro brak powodu to należy to sprawdzić! Wskazówka b : Konstrukcja zachowuje siÄ™ logicznie odksztaÅ‚cenia zachodzÄ… równomiernie w kierunku zadanego obciążenia. Wskazówka c : Tu w zasadzie jest tylko jeden punkt zaczepienia. W obrazie naprężeÅ„ trudno znaleźć uzasadnienie dla braku gÅ‚adkoÅ›ci w obrazie izonaprężeÅ„ w Å›rodku modelu. Jednakże pogłębiona analiza wskazuje na kÅ‚opoty algorytmu postprocesora a nie na błąd modelu. Wskazówka d : Niemożliwe jest aby w symetrycznym modelu (ksztaÅ‚t, podparcie, obciążenie) uzyskane wyniki byÅ‚y pozbawione waloru symetrii. Jak widać już przy pierwszych przymiarkach dostrzec można błąd modelowania. Jednak aby znaleźć na czym on polega potrzebna jest pogłębiona analiza. Aby lepiej przyjrzeć siÄ™ problemowi proponujÄ™ obejrzeć mapkÄ™ naprężeÅ„ normalnych w kierunkach osi X i Y:   Rys.4 Choć obraz naprężeÅ„ normalnych w kierunku osi X nie jest caÅ‚kowicie symetryczny to dopiero naprężenia w kierunku prostopadÅ‚ym obrazujÄ… nam caÅ‚kowicie błędny (wzglÄ™dem zaÅ‚ożeÅ„) obraz naprężeÅ„ (zwróćmy jednak uwagÄ™ że duże gradienty powodujÄ…ce „skokowość” obrazu naprężeÅ„ generowane sÄ… przez algorytm postprocesora). PoszukujÄ…c źródeÅ‚ niewÄ…tpliwego błędu należy wrócić do przemieszczeÅ„. Dzieje siÄ™ tak z dwu powodów. Po pierwsze w metodzie przemieszczeniowej tylko pole przemieszczeÅ„ jest podawane w punktach wÄ™zÅ‚owych, po drugie ze wzglÄ™du na nie lokalny charakter błędów (dotyczÄ… caÅ‚ego modelu) tylko błędy globalne mogÄ… być przyczynÄ… nieprawidÅ‚owych rezultatów. Uprzedźmy również pytania czytelników - dane geometryczno fizyczne sÄ… w modelu poprawne. Również mapy przemieszczeÅ„ w kierunku osi X i Y nie wykazujÄ… anomalii. Wygenerujmy jednak mapÄ™ przemieszczeÅ„ rotacyjnych wokół osi X i Y:   Rys 5 No i wreszcie wyszÅ‚o szydÅ‚o z worka! Ze wzglÄ™du na symetriÄ™ ustroju mapa przemieszczeÅ„ wina być symetryczna. Symetria podpowiada nam też od razu gdzie leży błąd! Zwróćmy uwagÄ™, że ustrój symetryczny powinien gwarantować zerowanie siÄ™ rotacji na liniach styku z odrzuconÄ… (ze wzglÄ™du na symetriÄ™ wÅ‚aÅ›nie) częściÄ… konstrukcji. Tak dziejÄ™ siÄ™ dla przemieszczeÅ„ RY na linii równolegÅ‚ej do osi Y, ale już nie zachodzi dla drugiej linii symetrii i dla przemieszczeÅ„ RX. Wniosek – błąd tkwi w modelu linii symetrii i „podejrzanÄ…” jest linia równolegÅ‚a do osi X. NadszedÅ‚ czas by odsÅ‚onić karty. Oto jak zamodelowano w modelu warunki brzegowe:  Rys 6 A jak winny być zamodelowane:  Rys 7 Podsumowanie W kolejnym artykule przybliżyliÅ›my nieco dwa ważne pojÄ™cia tj błędy mierzalne i błędy intuicyjne. Nie jest to może Å›cisÅ‚y podziaÅ‚, jest to jednak podziaÅ‚ naturalny – tak inżynier na co dzieÅ„ czuje konstrukcjÄ™. Widzimy już teraz, że w trakcie procesu modelowania możemy popeÅ‚nić sporo błędów, a niestety nie wszystkie obrazujÄ… siÄ™ w sposób oczywisty. Potrzeba sporo doÅ›wiadczenia i cierpliwoÅ›ci aby je znaleźć i poprawić. PozostaÅ‚a nam jeszcze do omówienia walidacja i tym tematem, bodajże najtrudniejszym zajmiemy siÄ™ w trzecim artykule z serii. Na koniec pozwolÄ™ sobie na dygresjÄ™. ProponujÄ™ drodzy czytelnicy wykorzystać ten artykuÅ‚ w sytuacji gdy szef planuje Wam czas na obliczenia. Może choć trochÄ™ zyczliwszym okiem spojrzy na pozycjÄ™ „weryfikacja modelu”. |