Uruchamianie modelu numerycznego
Dodane przez piotr dnia 23.05.2008 22:35
Chciałbym przekazać kilka słów wynikających z praktycznego doświadczenia z kilku lat przeprowadzania obliczeń metodą elementów skończonych problemów wytrzymałości materiałów. Większość książek nt MES sprowadza się do przedstawienia teoretycznych podstaw metody oraz podania kilku podstawowych, a czasami i złożonych, przykładów obliczeń. Przykłady te jednak są przedstawiane w taki sposób jak gdyby „po drodze” nie było żadnych problemów ani trudności a człowiek był absolutnie nieomylny. Odejdę od tego schematu. Postaram się pokazać jak popełnić możliwie mało pomyłek i przede wszystkim skupię się na tym jak stwierdzić, że się pomyliło! Mamy podświadomą tendencję do pokładania wiary w skomplikowane procedury i urządzenia . Człowiek bowiem zapomina, że im coś bardziej złożonego tym większe prawdopodobieństwo pomyłki. Ja mogę zaś przyznać się tutaj, że poza najbardziej trywialnymi zagadnieniami nie zdarzyło mi się zbudować modelu, który „od pierwszego strzału” był dobry. W dalszych rozważaniach prawie pominę na razie istotny problem z doprowadzeniem modelu do stanu, w którym daje się uzyskać jakiekolwiek wyniki. Powodem jest tutaj głęboka zależność tego procesu od stosowanego oprogramowania i skupię się na określeniu poprawności wykonania modelu. Przemilczę również kwestię poprawności doboru modelu, gdyż w swej istocie jest to problem teorii a nie praktyki obliczeń.
Starujemy
Jest coś paradoksalnego w stwierdzeniu, że aby być pewnym wyniku trzeba znać dobre rozwiązanie. Ale tak to w MES’ie już jest. Będziesz pewny tylko, gdy znasz wynik. Nie chodzi tu jednak oczywiście o dokładny wynik, tylko o wiedzę, w jakich ramach wynik powinien się znajdować. Przykład trywialny: jeżeli w wynikach np. belki wspornikowej zauważysz, że pod wpływem obciążenia belka wygięła się w przeciwnym kierunku będziesz wiedział, że coś zawaliłeś (najprawdopodobniej zwrot wektora obciążenia). Przykład ten przestanie być jednak trywialny w sytuacji badania utraty stateczności. Jeżeli wcześniej nie oszacowałeś wyniku możesz nie być zdziwiony, gdy otrzymany rezultat wskazuje na brak możliwości utraty stateczności... i popełnisz katastrofalny błąd. Tak więc uważam, że tzw. sprawdzenie obliczeń należy wykonać PRZED obliczeniami właściwymi a nie jak sugeruje nazwa: obliczenia sprawdzające, PO. Dlaczego ano np. dlatego by przez wiele godzin nie weryfikować poprawnego wyniku. Przykładem niech będzie moja przygoda z ultra długą konstrukcją (około 42 m rozpiętości, będącą w swojej istocie belką a w moim modelu skomplikowaną blachownicą). W wyniku obliczeń uzyskałem strzałkę ugięcia rzędu 1.1 metra!!! Ponieważ nie wykonałem wcześniejszych obliczeń sprawdzających, nie miałem intuicji wyniku, i ugięcie to wydawało mi się niemożliwe, zbyt duże. Straciłem blisko 2 dni na weryfikację wszystkich danych by na końcu wykonać proste podstawienie do wzoru na ugięcie belki.
Problemem jest więc posiadanie nie tyle dokładnego rozwiązania ile właśnie owej intuicji wyniku. Jak ją nabyć? Oczywiście podstawową metodą jest stosowanie analogii. Coś długiego, cienkiego pracującego na zginanie? Wiadomo – belka! Ale czy to wystarczy? Niestety nie. Rzadko, bowiem się tak zdarza w praktyce, by jedna analogia oddawała wszystkie punkty krytyczne rzeczywistej konstrukcji. Dzieje się tak zarówno ze względu na charakter obciążenia jak i cechy samej konstrukcji. Wrócę na chwile do wcześniejszego przykładu. Otóż analogia belkowa pozwoliła mi na prawidłowe oszacowanie strzałki ugięcia. Dobrze, ale problemem okazało się, że analogia belkowa stosowana, jako jedyna prowadzi na manowce, ponieważ punktem krytycznym tej konstrukcji była stateczność pasa dolnego. Potrzebna wiec jest jeszcze lokalnie analogia płytowa – określenie naprężenia od ściskania powodującego utratę stateczności. Zostawmy to na razie, wrócę jeszcze do tematu w dalszej części wywodu.
Zagłębiamy się w temat
No dobrze, generalnie odstępstwa wyników podzieliłbym na dwie grupy, mierzalne, np. strzałka ugięcia rozwiązania szacunkowego znacząco odbiega od obliczonej naszym modelem lub intuicyjne np. kształt krzywej ugięcia odbiega od naszych wyobrażeń (patrz wychylenie w drugą stronę). Problem pierwszy zazwyczaj sprowadza się do błędu grubego. Z mojego doświadczenia wynika, że błędy popełniamy najczęściej wprowadzając:
· błędne jednostki (najczęściej pomieszanie jednostek np. metrów i milimetrów!),
· błędne dane materiałowe (aluminium w miejsce stali),
· błędy skali (wprowadzamy np. model w wymiarach 1: 5, proszę mnie nie pytać dlaczego),
· błędy wprowadzanych danych numerycznych (ja to nazywam błąd typu „ jedno zero za dużo”),
· błędy obciążenia (zwrot, kierunek, punkt przyłożenia),
· błędy wymiarowania (np. płyta o grubości 20mm w miejsce 10 mm).
Z drugim tematem wiąże się częściowo problem błędu zerowania się wyrazów na przekątnej macierzy sztywności. Dzieje się tak ze względu na fakt, że znaczący procent błędów bierze się ze źle określonych stopni swobody modelu! Wbrew pozorom, w niektórych konstrukcjach trudno znaleźć błąd niedostatecznej liczby stopni swobody. Podpowiem tu proste rozwiązanie. Należy skorzystać z opcji, dostępnej w większości systemów liczących, dodawania małych wartości do wyrazów na przekątnej macierzy sztywności. Pozwala to na „przeliczenie modelu”. Taki model jednak wykaże tendencję do dużego przesunięcia się w kierunku brakującego stopnia swobody. Na marginesie dodam tutaj drobną uwagę. Tak uzyskane modele numeryczne dają wyniki także w przypadkach, które teoretycznie są nieoznaczone. Weź rozważ np. poniższą belkę:
Rys. 1
Ale wracam do zasadniczego wątku. Jak poznać, że postać odkształcenia jest niewłaściwa? Podstawowymi powodami, których przyczyny stosunkowo łatwo zidentyfikować są:
· błędy siatki (model ma „nie zszyte” powierzchnie, zawiera zdeformowane elementy, niewłaściwy typ elementów)
· błędy podparcia (podparcie jest nieadekwatne do rzeczywistego charakteru pracy).
Niestety nie są to jedyne powody, a często też występuje mix wielu różnych przyczyn. Znalezienie ich to niezbyt łatwe zadanie. Najważniejsze jednak by podejrzewać błędność modelu! Nie ma tu pewnych rad, ale są wskazówki:
- szukaj ekstremów (zazwyczaj jesteśmy w stanie wskazać miejsca maksymalnego i minimalnego ugięcia lub ogólnie występowania pewnej wielkości wynikowej),
- szukaj logiki (konstrukcja „podąża” za obciążeniem),
- szukaj „gładkości” (wszelkie duże skoki wartości wynikowych muszą mieć swój powód, bądź to w obciążeniu bądź to w charakterystyce modelu),
- szukaj niemożliwego (np. .konstrukcja przemieszcza się w miejscu gdzie podobną są więzy).
Od strony praktycznej najlepiej szukać tych zależności na rysunkach konstrukcji odkształconej i w animacjach, które przedstawiają deformację najlepiej w stosunkowo dużej skali. Tu uwaga, zanim podniesiesz alarm o dziwnym zachowaniu konstrukcji odkształconej weź pod uwagę, że powiększanie przemieszczeń powoduje niekorzystne graficzne efekty skali. Jako przykład można wziąć np. tarczę kołową, do której brzegu przyłożymy siłę styczną. W obrazie przemieszczeń w skali zaobserwujemy zjawisko powiększenia się tarczy!
Widać to na poniższym rysunku, gdzie siatka odkształcona(ciemniejsza) przerasta siatkę bazową:
Rys. 2
Wbrew pozorom jest to obraz poprawny! Wynika to z faktu, że powiększone przemieszczenia zachowują kierunek, gdy tymczasem, aby nie deformować obrazu przemieszczeń, powinny podążać „po stycznej” tak się jednak nie dzieje. W obrazie tym jest jednak zagadka dla Ciebie czytelniku - wskaż na których węzłach model jest zawieszony (dla ułatwienia są to dwa węzły w obu odebrano możliwość przemieszczeń we wszystkich kierunkach – model płaski).
Na efekt ten należy uważać przy analizie i nie przesadzać ze skalą deformacji. Na tym przykładzie pokażemy wpływ błędu modelowania. W powyższym modelu błędnie zdefiniowałem typ elementu i otrzymałem poniższy obraz naprężeń:
Rys. 3
Prawidłowy obraz naprężeń powinien zaś wyglądać tak:
Rys. 4
Porównanie obu obrazów wskazuje wyraźnie na występowanie przesłanek błędności modelu
- szukaj ekstremów – w błędnym modelu brak maksymalnych wartości w miejscach mocowania i przyłożenia siły,
- szukaj logiki – trudno doszukać się logicznej przyczyny występowania dużej liczby ekstremów,
- szukaj „gładkości” – model jednorodny brak skoków sztywności, brak punktowego obciążenia a wyniki bardzo „faliste”,
- szukaj niemożliwego – niemożliwe jest, aby mocowanie nie spowodowało wzrostu naprężeń.
Przykład modelowy! Ale ja mam kubeł zimnej wody, obraz naprężeń modelu, który przedstawiłem, jako prawidłowy też budzi wątpliwości!
Szczegóły głupcze!
Ano jak zwykle diabeł tkwi w szczegółach. W ostatnim przykładzie omawiałem ogólne kryteria weryfikacji (strzałka ugięcia, przebieg wielkości wynikowych) I to podejście jest słuszne, jednakże oprócz oglądania całego modelu należy jeszcze przyjrzeć się szczegółom. Nadszedł czas na ujawnienie węzłów, w których odebrano stopnie swobody:
Rys. 5
Jeżeli ten obraz porównamy z obrazem „poprawnych” naprężeń zauważymy występowanie lokalnego ekstremum w miejscu podejrzanym bo w węźle, w którym nie występują żadne specyficzne elementy(obciążenie, mocowanie, zmiana sztywności). Należy poddać model weryfikacji. Ponieważ model jest niewielki najłatwiej przeliczyć go od nowa dokonując poprawki najbardziej podejrzanego składnika – niedoskonałości podziału na elementy skończone. Zanim jednak to zrobimy musimy sobie uświadomić parę rzeczy. Po pierwsze, że obliczenia wykonano przemieszczeniowym wariantem MES. A to oznacza, że uzyskaliśmy w rozwiązaniu jedynie średnią wartość naprężenia w elemencie! To algorytm postprocesora odpowiada za tę piękną mapkę izonaprężeń. Odstępstwo od ideału może wynikać z niedoskonałości tego algorytmu. Zobaczmy jak wygląda wyliczony z równań metody obraz naprężeń, czyli wartość naprężeń w elementach.
Rys. 6
Obraz wskazuje, że rzeczywiście w „podejrzanym” miejscu występują najwyższe naprężenia. Ich lokalny rozkład wynika już jednak z metody ich interpolacji. Jeżeli Twój system liczący dysponuje różnymi metodami interpolacji pola naprężeń przed poprawianiem modelu, co może być kosztowne czasowo, warto uzyskać obraz naprężeń inną metodą. Tak jak tu:
Rys. 7
Obraz naprężeń wreszcie nie budzi wątpliwości. Mogę wrócić do przykładu z początku rozważań. Przypomnę, że chodziło o konstrukcje blachownicową, w której efekty lokalne powodują bezużyteczność analogii belkowej. Aby wyjaśnić problem proponuję przyjrzeć się poniższemu obrazowi
Rys. 8
Jest to konstrukcja o cechach belki zamodelowana jednak jako blachownica. W powyższym przykładzie przedstawiona jest 9 postać drgań własnych , w której nieoczekiwanie wystąpiły lokalne sfalowania pasa górnego i dolnego – stało się tak gdy częstości drgań własnych globalne konstrukcji nałożyły się na lokalne pasa górnego i dolnego innymi słowy gdy częstość drgań własnych belki pokryła się z częstością drgań własnych płyty! Zjawisko takie jest główną przyczyną, dla której analizując duże i złożone konstrukcje nie wolno ograniczać się do analizy tylko jednokierunkowej analogii. Zawsze warto założyć, że zjawiska lokalne są równie istotne jak ogólne.
Podsumowanie
Naszkicowałem tutaj zaledwie zarys tematu. Myślę, że w najbliższym czasie postaram się więcej napisać o błędach grubych bo choć łatwiejsze do znalezienia to nie znaczy, że i tu nie napotyka się kłopotliwych kwestii bądź wątpliwości. Zachęcam również do dyskusji i pytań na naszym forum!
