| Autor |
Sformułowanie wariacyjne - idea |
Kam
Użytkownik
Postów: 28
Data rejestracji: 31.12.12 |
| Dodane dnia 12/31/2012 04:48 |
|
|
Przepraszam, za poziom mojego pytania. Dopiero rozpoczynam przygodę z MES.
Czy moje rozumowanie jest poprawne?
Sformułowanie wariacyjne MES polega na sprowadzeniu równania różniczkowego opisującego dane zagadnienie do funkcjonału, a następnie wyznaczenia jego ekstremum? |
|
|
| Autor |
RE: Sformułowanie wariacyjne - idea |
piotr
Super Administrator
Postów: 1432
Data rejestracji: 17.05.07 |
| Dodane dnia 01/02/2013 15:06 |
|
|
|
I tak i nie. Opis wariacyjny zagadnienia jest alternatywnym i nie w pełni równoważnym (w sensie matematycznym) zapisem danego zagadnienia. Wynika z tego, że można wyjść od zapisu różniczkowego i dojść do zapisu wariacyjnego... ale można i odwrotnie, co często wbrew pozorom jest łatwiejsze. |
|
|
| Autor |
RE: Sformułowanie wariacyjne - idea |
Kam
Użytkownik
Postów: 28
Data rejestracji: 31.12.12 |
| Dodane dnia 01/04/2013 03:05 |
|
|
Czyli istota sformułowania wariacyjnego polega na tym, że omawiany przez nas problem jest zdefiniowany w "opisie wariacyjnym" (uzyskanym z przekształcenia równania różniczkowego bądź wykorzystując całkowitą energię potencjalną układu).
Kolejne etapu postępowania MES są takie same? |
|
|
| Autor |
RE: Sformułowanie wariacyjne - idea |
piotr
Super Administrator
Postów: 1432
Data rejestracji: 17.05.07 |
| Dodane dnia 01/04/2013 11:14 |
|
|
W zasadzie tak. Choć można by się przyczepić do faktu, że wyjście z równań różniczkowych daje rozwiązanie lokalne podczas gdy równania wariacyjne są określone na obszarze całkowania funkcjonału. (równanie różniczkowe daje rozwiązanie wokół punktu, równanie Eulera daje rozwiązanie w przedziale). Ale rozwiązania są równoważne. Istnieje dowód zgodności metody wariacyjnej i metody reziduów ważonych.
Mały dodatek:
Jeżeli Cię to interesuje dokładnie poszukaj sobie książki I.M Gelfand S.W. Fomin "Rachunek wariacyjny." Tam jest to b. szczegółowo wyjaśnione.
Edytowane przez piotr dnia 01/04/2013 11:18 |
|
|
| Autor |
RE: Sformułowanie wariacyjne - idea |
Kam
Użytkownik
Postów: 28
Data rejestracji: 31.12.12 |
| Dodane dnia 01/04/2013 17:09 |
|
|
Postaram się znaleźć w/w książkę.
Rozumiem, że równanie różniczkowe otrzymujemy w efekcie analizy stanu równowagi w punkcie materialnym ciała. Jednakże potem (rozwiązując r. różniczkowe) szukamy funkcji spełniającej równanie różniczkowe, warunki brzegowe na całym przedziale (np. r.r pręta rozciąganego, 0<x<L gdzie L to długość pręta).
Dlaczego zatem równanie różniczkowe daje rozwiązanie wokół punktu? |
|
|
| Autor |
RE: Sformułowanie wariacyjne - idea |
piotr
Super Administrator
Postów: 1432
Data rejestracji: 17.05.07 |
| Dodane dnia 01/04/2013 18:42 |
|
|
|
To jest idea. Równania różniczkowe są lokalne w tym sensie, że wymagają dla swojego rozwiązania "w obszarze" dosyć dużych gładkości, czyli klasy C(ileś tam..., najlepiej nieskończoność), podczas gdy w zasadzie równanie Eulera jest drugiego rzędu. W tym sensie na gładkich funkcjach mamy pełną tożsamość. Rozjazd zaczyna się gdy pojawiają się nieciągłości. Z praktycznego punktu widzenia jest to pestka, gdyż wykorzystujemy właśnie funkcje ciągłe. Ale z matematycznego punktu widzenia różnica jest! |
|
|
| Autor |
RE: Sformułowanie wariacyjne - idea |
Kam
Użytkownik
Postów: 28
Data rejestracji: 31.12.12 |
| Dodane dnia 01/05/2013 18:59 |
|
|
Możemy dany problem sformułować lokalnie, tzn. w postaci równań różniczkowych.
Jeżeli rozważany problem jest problemem samosprzężonym to sformułowanie globalne jest problemem równoważnym.
A co w przypadku, gdy problem nie jest samosprzężony?
Wtedy budujemy ważone równania całkowe?tak?
Dziękuje bardzo za odpowiedzi są bardzo pomocne! |
|
|
| Autor |
RE: Sformułowanie wariacyjne - idea |
piotr
Super Administrator
Postów: 1432
Data rejestracji: 17.05.07 |
| Dodane dnia 01/06/2013 15:14 |
|
|
|
Można na to spojrzeć z różnych stron. W pewnym sensie równania wariacyjne to tylko inny sposób przedstawienia równań różniczkowych opisujących problem. np patrz:
http://pl.scribd.com/doc/47282304/Metoda-element-w-skonczonych-Lodygowski
I w tym sensie podejście wariacyjne ma tę przewagę, że można od funkcji będącej rozwiązaniem "mniej wymagać". Co do dalszych losów, czyli prób rozwiązania problemu to tu też, wydaje mi się, że rachunek wariacyjny ma pewną przewagę. Wynika ona raczej z "łatwości" (koniecznie w cudzysłowie) interpretacji energetycznej wielu problemów... |
|
|
Użytkownicy Online
ew thread" po prawej stronie.
