WSTęP

Gdzie przebiega granica stosowania różnych teorii gdzie np. jest granica pomiędzy prętem cienkościennym a klasyczną belką? Jeżeli patrzymy na teorię to podstawową kwestią jest dopuszczalność założeń co do rozkładu naprężeń w ściankach pręta (patrz Rysunek 1, [ 0]i [ 0]) oraz dopuszczalność deplanacji i deformacji przekroju. (dla prętów cienkościennych to uproszczona forma jednolitego rozkładu naprężeń w płaszczu oraz branie pod uwagę jedynie naprężeń w osi wzdłużnej pręta oraz ścinających o kierunku wzdłużnym i poprzecznym stycznych w każdym punkcie do płaszczyzny tworzącej pręta (Rysunek 2) oraz istnienie idealnie sztywnych w swych płaszczyznach żeber; dla klasycznej belki to założenie o płaskości i niezmienności przekroju oraz pozostawaniu tegoż przekroju jako prostopadłego do osi belki).

Rysunek 1

Rysunek 2

Weźmy do tego jeszcze uogólnione teorie belek np.[ 1] w których rezygnuję się z założeń dotyczących zachowania się przekroju, (pamiętając że jej ograniczone praktyczne stosowanie wynika ze złożoności teorii).

Jak więc bardziej ściśle zbadać różnicę? Na ile podstawowa teoria belek może być stosowaną wraz np ze zmianą parametrów przekroju. Jednym z podejść jest niewątpliwie analiza konstrukcji pod kątem stosunków wymiarowych. Jednak zalecenia spotykane w literaturze są trudne do zastosowania zwłaszcza w warunkach przejściowych bądź odbiegających od czystych postaci zgodnych z założeniami. Trudno bowiem opierać się na stwierdzeniu, że pręt cienkościenny to taki w którym: „grubość płaszcza h jest wielokrotnie mniejsza od całkowitej długości c konturu z kolei długość konturu c jest znacznie mniejsza od długości l pręta...” (cytat za [ 0]). Dla nas szczególnie interesującym będzie problem gdy warunki konstrukcyjne są mieszanką konstrukcji różnych teoretycznych modeli. Konkretnie skupmy uwagę na przypadku gdy konstrukcja belki przechodzi od stanu ewidentnie pasującego do klasycznej teorii do stanu, którego teoretyczną przynależność do teorii klasycznej, rozszerzonej czy też prętów cienkościennych określić jest trudno. Przykładem technicznym są tu np. belki nośne kładek, mostów stalowych (patrz, Rysunek 3), których górna powierzchnia jest jednocześnie skonstruowana dla przenoszenia naprężeń pochodzących od obciążeń lokalnych, pozostałe zaś ściany to klasyczna, spełniająca wszelkie warunki konstrukcja pręta cienkościennego.

Rysunek 3

Aby prześledzić zmiany jakie zachodzą przy przechodzeniu modelu od jednego wariantu teoretycznego do drugiego wykonajmy test obliczeniowy z zastosowaniem teorii bardziej ogólnej od każdej teorii belek – teorii płyt i powłok i to zarówno w wymiarze teorii powłok cienkościennych jak i grubościennych.

Zarys teorii

Podstawy teoretyczne problemu dotyczącego belek są szeroko omawiane w literaturze, żeby wymienić choćby kanon literatury dla belek klasycznych wg założeń Bernoulliego[ 0],[ 0 czy [ 0] i nie ma potrzeby przytaczać ich w tym miejscu. Należy jednak przypomnieć, że skutkiem założeń teorii klasycznej jest zerowanie się naprężeń stycznych co prowadzi do wniosku o zerowaniu się sił poprzecznych, bo przecież

( 1)

gdzie: T_y,z siły poprzeczne,
A -pole przekroju poprzecznego pręta,

τ_xy, τ_xz – naprężenia styczne

Jest to oczywiście sprzeczne z równaniami równowagi. Dla zachowania równań równowagi, których spełnienie jest warunkiem bezwzględnym, stosując podejście prezentowane chociażby w pracy [ 0] otrzymamy wyrażenie definiujące naprężenia styczne w pręcie zginanym siłą poprzeczną:

gdzie

moment statyczny,

pozostałe oznaczenia wyjaśnia rysunek

Rysunek 4

Teorią w oparciu o którą będziemy weryfikować podstawową teorie belek [ 0] jest teoria płyt i powłok. Literatura przedmiotu jest równie bogata jak w przypadku belek tu należy wspomnieć jedynie o podstawowych pozycjach [ 0],[ 0] czy też [ 0] i [ 0.

Uwaga ta również dotyczy teoretycznych podstaw numerycznych metod obliczeniowych teorii płyt i powłok wykorzystanych w niniejszej pracy, warto tu przytoczyć przede wszystkim absolutny kanon literaturowy [ 0] , w pracy korzystano również z [ 0]. Ponadto problemy te są szeroko omawiane w licznych publikacjach i zainteresowanych teoretyczną stroną odsyłamy do tej literatury.

Założenia do doświadczenia

Wykonajmy szereg modeli belki podpartej przegubowo. Każdy model będzie dotyczył belki o następujących parametrach geometrycznych:

Długość - 10 [m]

Kształt przekroju - skrzynkowy

Wysokość - 0.15 [m]

Moment bezwładności przekroju: - 0.000010974 [m⁴]

Modele będą posiadały następujące własności materiałowe:

• moduł sprężystości - 2.1 10¹¹ [Pa]

• stała poissona - 0.28

Do modeli przyłożono obciążenie ciągłe:

- q - 175.56 [N/m]

Aby uchwycić wpływ zmian kształtu przekroju poszczególne modele różnią się pomiędzy sobą tylko grubością ścianek bocznych (środników) zaś dla zachowania stałej wartości momentu bezwładności przekroju zmieniano szerokość przekroju D przy stałej wysokości przekroju H.

Rysunek 5

Oznaczenia wymiarów przekroju przedstawia Rysunek 5. Wymiary dla wykonanych modeli przedstawia tabela:

Uwagi do modelowania i obliczeń

Jak powiedzieliśmy wcześniej weryfikację przeprowadzimy w oparciu o teorię płytowo-powłokową. Oczywiście zastosowanie wprost teorii z analitycznym rozwiązaniem jest trudne, dlatego w niniejszej pracy posłużymy się przybliżoną metodą rozwiązania problemu brzegowego metodą elementów skończonych. Metodę implementowaną w systemie COSMOS/M [ 0]. Wykonane modele różnią się tylko wielkościami wymiarowymi. Jako układ odniesienia zastosowano wielkości wyliczone dla przekroju środkowego belki wg teorii podstawowej belek tzw Bernoulliego, wzbogaconej o wyliczenie naprężeń stycznych wg wzoru ¯urawskiego ( 0). Warto zwrócić uwagę, że podstawowe naprężenia pochodzące od zginania nie zależą wg teorii od przyjętego modelu gdyż wszystkie posiadają identyczną wartość momentu bezwładności.

Dla poprawy dokładności obliczeń modeli odniesienia zastosowano zarówno teorię płyt grubych (tam gdzie minimalny wymiar poprzeczny płyty był więcej niż 10-krotnie większy od jej grubości) jak i teorię płyt cienkich (w pozostałych przypadkach).

Podział modelu płytowo powłokowego na elementy skończone przedstawia Rysunek 6

Rysunek 6

Wszystkie modele odniesienia składają się z 8000 elementów płytowo-powłokowych, czterowęzłowych rozpiętych na 8040 węzłach o 48185 stopniach swobody. Model pierwszy składa się całkowicie z elementów grubych (SHELL4T), w pozostałych, tymi elementami zamodelowano jedynie półkę górną i dolną belki, środniki zaś zamodelowano elementami cienkimi (SHELL4). Obciążenie do modelu przyłożono jako siłę masową.

WYNIKI

Uzyskane rezultaty obliczeń przedstawia tabela. Wyniki podano z pominięciem tych uzyskanych w obszarach de Saint-Venanta i specjalnie dla tych obszarów (*- poprawka uwzględniająca obszary de Saint Venanta w modelu belkowym zmniejsza naprężenia tnące o ok. 6%). Naprężenia redukowano wg hipotezy Hubera- Missesa.

*- bez wyników w obszarze 0.3 m od podpór

**- dla modeli płytowo-powłokowych

Zobaczmy jeszcze czy przekrój zachowuje założenie o niezmienności kształtu. Uzyskane wyniki przedstawia Rysunek 7.

Rysunek 7

Dla uzyskania pełnego obrazu przedstawmy jeszcze dla piątego modelu wpływ długości belki na wyniki naprężeń. (Obliczenia wykonano dla modelu 5 przy założeniu stałego maksymalnego momentu gnącego)

Z obliczeń wynika wyraźnie pojawienie się bardzo szybko odstępstw od teorii. Jednakże jeżeli przyjrzymy się uważnie rozkładowi naprężeń (Rysunek 8- dla modelu o długości 2 metrów) w modelu naprężenia są wynikiem pojawienia się zjawisk ugięcia poprzecznego półek pod wpływem obciążenia masowego. Jeżeli by brać pod uwagę naprężenia na krawędziach półek zgodność z teorią zachodzi jeszcze dla smukłości rzędu 70.

Rysunek 8

Wnioski

Już pobieżna analiza uzyskanych wyników wskazuje na bardzo optymistyczne wnioski. Klasyczna teoria belek daje rezultaty poprawne w znacznie szerszym zakresie niż należałoby się spodziewać po rozlicznych próbach jej udoskonalenia [ 0]. W zasadzie wyniki są poprawne dla sześciu z siedmiu modeli i jedynie w modelu o środniku grubości 0.1[mm](!) wyniki wskazują na kres możliwości teorii. Niezgodność obliczeń jest poniżej 10% a jeżeli uwzględnić dane bez obszarów de Saint Venanta (o 6% mniejsze naprężenia tnące) To zgodność sięga 2%. Z technicznego punktu widzenia jest to różnica nieistotna.

Ciekawym wnioskiem płynącym z obliczeń jest, że fałszywość założenia o niezmienniczości przekroju (Rysunek 7) ze względu na niewielką wartość bezwzględną tych deformacji (<0.003 mm przy strzałce ugięcia rzędu 10mm) wpływ tej niezgodności na wyniki jest znikomy. Płynie stąd wniosek , że założenie to jest dobrym przybliżeniem. Ponadto warto zauważyć że w modelu 1 i 2 deformacja zmienia przekrój z prostokąta w trapez, dopiero dalsze modele zachowują się zgodnie z zaawansowaną teorią belek [ 0].

I na koniec spostrzeżenie że nawet uwzględniając obszary de Saint Venanta naprężenia redukowane obliczone wg teorii belek z uwzględnieniem poprawki na naprężenia tnące, były w porównaniu do badanych modeli co najwyżej większe. Tak więc obliczenia tą metodą są bezpieczne nawet po przekroczeniu granic jej stosowania. Należy jednak zaznaczyć, że ostatni wniosek nie ma charakteru ogólnego. Dowodzi tego, znajdująca pełne potwierdzenie w niniejszej pracy teza z pracy [ 0], że podstawowym parametrem klasyfikującym rodzaj zastosowanej teorii jest smukłość pręta. Dla belki pokazanej w niniejszej pracy teoria klasyczna traci swą moc obowiązującą już dla smukłości mniejszych niż 100. Podstawową przyczyną jest duży wpływ obciążeń masowych na lokalne deformacje przekroju pręta (o rząd wielkości większych niż w modelach 1-7), a więc nie zachowanie podstawowych założeń klasycznej teorii (Rysunek 9- przedstawia powiększoną deformację przekroju pręta w dwu rzutach).

Rysunek 9

BIBLIOGRAFIA

[ 0] Brzoska Z Statyka i stateczność konstrukcji prętowychi cienkościennych Warszawa PWN 1961

[ 0] Michał ¯yczkowski Mechanika techniczna - wytrzymałość elementów konstrukcyjnych Warszawa PWN 1988

[ 0] Simo, J.C., Vu-Quoc A geometrically-exact rod model incorporating shear and

torsion-warping deformation, International Journal of Solids and Structures 27, 1991, 371-393

[ 0] S.Timoshenko Goodier J. Teria sprężystości Arkady, Warszawa 1962

[ 0] Huber M.T., Teoria sprężystości, PWN Warszawa 1954.

[ 0] Mossakowska Z.,Nowacki W.,Sokołowski M., Wesołowski Z. Mecjanika techniczna t IV Sprężystość. Warszawa PWN 1978

[ 0] Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Thy Finite Element Method, Fourth edition, 1991.

[ 0] Rusiński E., Metoda elementów skończonych - system Cosmos/M, WKŁ Warszawa 1994.

[ 0] Brzoska Z Wytrzymałość materiałów Warszawa PWN 1972

[ 0] Nowacki W. Dźwigarypowierzchniowe Warszawa PWN 1979

[ 0] Niezgodziński M.E., Niezgodziński T. Wytrzymałość materiałów Warszawa PWN 1979