Autor |
Funkcje kształtu elementu belkowego |
zbigi
Użytkownik
Postów: 1
Data rejestracji: 20.12.14 |
Dodane dnia 12/20/2014 12:27 |
|
|
Czy dane funkcje kształtu dla elementu belkowego (w przykładzie pominięto przemieszczenia wzdłuż osi belki):
http://i61.tinypic.com/2s8fsk1.jpg
są uniwersalne czy stosuje się je tylko dla elementu obustronnie utwierdzonego?
Jeżeli nie są uniwersalne to czy są jakieś tablice z funkcjami kształtu dla różnych typów elementów belkowych?
Wiem, że poszczególne funkcje kształtu określają linię ugięcia belki wywołaną jednostkowym przemieszczeniem, przy założeniu że reszta przemieszczeń w węzłach elementu jest równa zeru (np. dla elementu o węzłach A i B fiA=1, vA=vB=fiB=0)
Nie wiem z kolei jak te funkcje wyprowadzić, czy można jakieś konkretne przykłady znaleźć w literaturze?
Jeżeli tak to gdzie szukać?
Edytowane przez piotr dnia 01/18/2015 17:55 |
|
Autor |
RE: Funckje kształtu elementu belkowego |
jasiu
Użytkownik
Postów: 87
Data rejestracji: 23.07.07 |
Dodane dnia 12/20/2014 21:38 |
|
|
funkcje są uniwersalne.
Funkcje kształtu się nie wyprowadza a wprowadza, muszą tylko spełnić kilka wymogów, które znajdziesz w każdej pozycji dotyczącej MES, a poza tym są dowolne. |
|
Autor |
RE: Funckje kształtu elementu belkowego |
Leonardo
Użytkownik
Postów: 90
Data rejestracji: 22.02.11 |
Dodane dnia 01/09/2015 13:53 |
|
|
Funkcje kształtu nie są uniwersalne. Akurat w przypadku elementów prętowych (niekoniecznie belkowych) mogą zostać wyprowadzone ściśle. Ze względów praktycznych i głównie przy elementach liniowych faktycznie wprowadza się wybrane funkcje a priori wymagając od nich spełnienia warunków brzegowych. W przypadku elementów 2d czy 3d zawsze "wprowadza" się postać funkcji kształtu gdyż...brak ścisłych rozwiązań analitycznych dla tego typu elementów. Wyprowadzenie dla elementów prętowych można znaleźć np. w podręcznikach mechaniki budowli lub MES (raczej polskich bo w zachodnich z reguły stosują proste funkcje kształtu bez wyprowadzeń) - jeśli nie ściśle odnośnie MES to przy wprowadzaniu metody przemieszczeń lub Crossa. |
|
Autor |
RE: Funckje kształtu elementu belkowego |
piotr
Super Administrator
Postów: 1432
Data rejestracji: 17.05.07 |
Dodane dnia 01/09/2015 21:46 |
|
|
No tak w zasadzie patrząc od matematycznej strony funkcje kształtu powinny być równoważne przemieszczeniom przygotowanym, a więc nie muszą być rozwiązaniem równań opisujących dany kształt. W przypadku belek rzeczywiście funkcje drugiego stopnia są najczęstszym rozwiązaniem równania belki bernouliego. Jednak to raczej korzystny "przypadek". To co robimy rozwiązując zadanie metodą elementów skończonych to znajdujemy ekstremum (czasami punkt siodłowy) funkcjonał energii układu. A jak wiadomo tylko rzeczywiste przemieszczenia gwarantują spełnienie tego warunku. W tym sensie funkcje kształtu są uniwersalne. Stąd cała plejada elementów dostosowanych, niedostosowanych... ponieważ w zasadzie, (znowu z punktu widzenia matematycznego nie praktycznego) zbieżność do rozwiązania dokładnego zapewnia nam co raz drobniejszy podział na elementy skończone a nie funkcja kształtu (chociaż to też z pewnym zastrzeżeniem, gdyż istnieją metody poprawy czy wręcz zapewnienia zbieżności rozwiązania nie związane z zagęszczeniem podziału na elementy tylko ze wzrostem stopnia złożoności funkcji kształtu). |
|
Autor |
RE: Funckje kształtu elementu belkowego |
jasiu
Użytkownik
Postów: 87
Data rejestracji: 23.07.07 |
Dodane dnia 01/17/2015 09:49 |
|
|
Piotrze, czy to o czym piszesz to metody "p" i "h"? |
|
Autor |
RE: Funkcje kształtu elementu belkowego |
Leonardo
Użytkownik
Postów: 90
Data rejestracji: 22.02.11 |
Dodane dnia 01/20/2015 11:55 |
|
|
Z matematycznego punktu widzenia dla typowego ES funkcja kształtu chyba powinna być ciągła więc nie może być równoważna przemieszczeniom przygotowanym jako wartościom dyskretnym. Można chyba jednak wyobrazić sobie funkcje kształtu jako deformację ES pod wpływem przemieszczenia wymuszonego wybranego węzła. W przypadku belki rozwiązaniem ścisłym są zdaje się funkcje 3 stopnia nie drugiego. Idea funkcji kształtu jest uniwersalna same funkcje już chyba nie. Ostatnie zdanie Piotra również nie jest ścisłe gdyż "dokładność" rozwiązania to nie tylko przemieszczenia ale również naprężenia uzyskiwane przez odpowiednie całkowanie więc wzrost złożoności (dokładności) funkcji kształtu daje znacznie lepszy efekt również JAKOŚCIOWY w uzyskiwanych efektach niż samo prymitywne zagęszczanie siatki. A że w praktyce takie elementy stosuje się rzadko to już inna sprawa. |
|
Autor |
RE: Funkcje kształtu elementu belkowego |
piotr
Super Administrator
Postów: 1432
Data rejestracji: 17.05.07 |
Dodane dnia 01/20/2015 21:37 |
|
|
W ramach elementu funkcja kształtu jest ciągła. elementy zgodne zapewniają zgodność przemieszczeń i pierwszej pochodnej czyli spełniają definicje wprost. Elementy niedostosowane nie spełniają definicji, istnieje jednak dowód, że to nie burzy zbieżności przy malejącym elemencie.
Rozwiązanie belki zależy oczywiście od kształtu wykresu momentów: dla stałego momentu będzie to więc funkcja kwadratowa dla liniowego funkcja trzeciego stopnia ...itd
Co do naprężenia to zwiększenie dokładności uzyskujemy niejako naturalnie, zwiększając komplikacje funkcji kształtu na skutek wzrostu ilości węzłów definiujących funkcję. Zresztą to spostrzeżenie jest podstawą rozwijanych metod bezsiatkowych - o dokładności bowiem decyduje, tak naprawdę, w pewnym sensie, gęstość węzłów nie elementów. |
|
Autor |
RE: Funkcje kształtu elementu belkowego |
Leonardo
Użytkownik
Postów: 90
Data rejestracji: 22.02.11 |
Dodane dnia 01/21/2015 15:56 |
|
|
Ależ nie Piotrze. Pisząc "zdaje się" chciałem tylko użyć bardziej stonowanego wyrazu. Ścisłe funkcje kształtu dla belek (i to zarówno Lagrangea jak i Hermita) są ZAWSZE 3 stopnia. Nie ma to zupełnie nic wspólnego z "kształtem wykresu momentów". To gruby błąd. Natomiast ma to związek z tym co napisał na wstępie zbigi. Stosowne przykłady czytelnicy znajdą w pozycji Rakowski Kacprzyk - MES w mechanice konstrukcji, OWPW Wawa 1993, str.38-50. |
|
Autor |
RE: Funkcje kształtu elementu belkowego |
piotr
Super Administrator
Postów: 1432
Data rejestracji: 17.05.07 |
Dodane dnia 01/21/2015 19:19 |
|
|
Ach tak! Patrzcie, a mnie się wydawało, że przybliżone równanie linii ugięcia belki bernouliego to EJ w"=M(x). No, ale cóż, człowiek się uczy całe życie. Ale żarty na bok. Masz rację dla typowego obciążenia węzłowego oraz ciągłego i trójkątnego obciążenia ciągłego obciążenia elementowego rozwiązaniem są funkcje trzeciego stopnia, błędem jednak jest powiedzenie, że to rozwiązanie dokładne każdego przypadku belki bernouliego, z dowolnym obciążeniem. |
|
Autor |
RE: Funkcje kształtu elementu belkowego |
Leonardo
Użytkownik
Postów: 90
Data rejestracji: 22.02.11 |
Dodane dnia 01/21/2015 22:15 |
|
|
Drogi Piotrze, przecież wiesz, że ja zawsze mam rację :).
1. Twój pierwszy błąd to stwierdzenie, iż funkcja 3stopnia jest rozwiązaniem równania belki dla obciążenia ciągłego. Dla skupionego tak. Dla ciągłego będzie funkcją 4stopnia a dla trójkątnego ciągłego nawet 5stopnia! Wynika to z całkowania równania momentów podanego przez Ciebie. Oczywiście masz potem rację, krzywa ugięcia belki będzie inna w zależności od obciążenia. Nie tego dotyczyło jednak pytanie na początku wątku.
2. Twój drugi błąd wynika zdaje się z tego że pomyliłeś dwie sprawy: kształt osi belki obciążonej z funkcją kształtu ESa. Funkcja kształtu nie zależy od obciążenia a od wpływu przemieszczeń węzłowych na oś odkształconą (równanie jednorodne!). W MESie obciążenia są zamieniane na zastępcze siły węzłowe i nie wpływają raczej na funkcje kształtu. Macierz sztywności nie zależy od obciążenia (jeśli mowa o statyce liniowej).
Chyba zgodzisz się ze mną? |
|
Autor |
RE: Funkcje kształtu elementu belkowego |
piotr
Super Administrator
Postów: 1432
Data rejestracji: 17.05.07 |
Dodane dnia 01/22/2015 20:22 |
|
|
Mea culpa. W pośpiechu napisałem co napisałem a korekta wygląd tak zamiast:
oraz ciągłego i trójkątnego obciążenia ciągłego obciążenia elementowego miało być: oraz ciągłego i trójkątnego rozkładu momentu na elemencie
Ale jak rzekłem mea culpa
No i teraz jesteśmy jednak w domu rozwiązanie dokładne metodą elementów skończonych powinno dać dokładną linię ugięcia...QED
Ja właśnie o tym od początku I nie pomyliłem funkcji kształtu z funkcją ugięcia,m bo jak łatwo sprawdzić od samego początku twierdzę że związek między jedną i drugą istnieje w ten sposób, że to dokładne ekstremum funkcjonału energii zachodzi dla FUNKCJI KSZTAŁTU (oczywiście pomnożonej przez przemieszczenia węzłowe i posumowanej)równej FUNKCJI UGIęCIA. Jeżeli więc funkcja ugięcia jest krzywą piątego stopnia to jej przybliżenie krzywymi 3 stopnia jest tylko tym czym jest, a więc przybliżeniem właśnie.
Edytowane przez piotr dnia 01/22/2015 20:28 |
|